مقاله

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک منوجان در این پست برای کاربران عزیز این تحقیق را جمع آوری کرده است که میتوانید در قسمت زیر این مقاله معادلات دیفرانسیل در مکانیک که با فرمت ورد جمع اوری شده است را مشاهده کنید.

معادله دیفرانسیل چیست

در ریاضیات ، معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک یا چند توابع و مشتقات آنها را با هم مرتبط می کند . در برنامه ها ، توابع به طور کلی کمیت های فیزیکی را نشان می دهند ، مشتقات نرخ تغییرات آنها را نشان می دهند ، و معادله دیفرانسیل رابطه بین این دو را تعریف می کند. چنین روابطی مشترک است. بنابراین ، معادلات دیفرانسیل در بسیاری از رشته ها از جمله مهندسی ، فیزیک ، اقتصاد و زیست شناسی نقش برجسته ای دارند .

عمدتا مطالعه معادلات دیفرانسیل شامل مطالعه راه حل های آنها (مجموعه توابع سازگار با هر معادله) و خصوصیات حل های آنها است. فقط ساده ترین معادلات دیفرانسیل با فرمول های صریح قابل حل هستند. با این حال ، بسیاری از خصوصیات محلولهای یک معادله دیفرانسیل معین ممکن است بدون محاسبه دقیق آنها تعیین شود.

غالباً وقتی عبارتی از فرم بسته برای راه حلها در دسترس نیست ، ممکن است با استفاده از رایانه تقریبآ به صورت عددی تقریب پیدا شود. نظریه سیستم های دینامیکی بر تحلیل کیفی سیستم هایی که توسط معادلات دیفرانسیل توصیف شده اند ، تأکید می کند ، در حالی که روش های عددی بسیاری برای تعیین راه حل ها با درجه مشخصی از دقت توسعه یافته اند.

معادلات دیفرانسیل جزئی

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی ( PDE ) یک معادله دیفرانسیل است که شامل ناشناخته است توابع چند متغیره و خود مشتقات جزئی . (این برخلاف معادلات دیفرانسیل معمولی است ، که با توابع یک متغیر واحد و مشتقات آنها سروکار دارد.) PDE ها برای فرمول بندی مشکلات مربوط به توابع چندین متغیر استفاده می شوند و یا به صورت بسته حل می شوند ، یا برای ایجاد یک رایانه مربوطه استفاده می شوند مدل .

از PDE می توان برای توصیف طیف گسترده ای از پدیده ها در طبیعت مانند صدا ، گرما ، الکترواستاتیک ، الکترودینامیک ، جریان سیال ، کشش یا مکانیک کوانتوم استفاده کرد . این پدیده های ظاهری متمایز فیزیکی را می توان از نظر PDE به طور مشابه رسمی کرد. همانطور که معادلات دیفرانسیل معمولی اغلب سیستم های دینامیکی یک بعدی را مدل می کنند ، معادلات دیفرانسیل جزئی نیز اغلب سیستم های چند بعدی را مدل می کنند . معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی معادلات دیفرانسیل جزئی را برای مدل سازی تصادفی تعمیم می دهد .

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک

معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم حرکت نیوتن به دست می آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می شوند. در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند. برای حل آنها از روشهای عددی به کمک کامپیوترهای سریع و پیشرفته استفاده می کنند. همچنین کامپیوتر به موتور موشک دستور می دهد که چگونه و درچه زمان کار خود را آغاز کند تا موشک در مدار مناسب قرار گیرد. لزوم سرعت و دقت در این گونه کاربردهای کامپیوتری، انگیزه ای قوی برای پژوهش در زمینه سخت افزار و نرم افزار کامپیوتر به منظور تولید کامپیوترهای سریعتر و قابل اعتمادتر بوده هست.

معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد.

رده بندی معادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی های زیر رده بندی می شوند

  • نوع عادی یا جزئی
  • مرتبه که عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد)؛
  • درجه نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش

وقتی متغیر وابسته،مانند y تابعی از تنها یک متغیر مستقل مانند x باشد، فقط مشتقات «عادی» در معادله ظاهر می شوند

کاربرد معادلات دیفرانسیل

یکی از مهمترین کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مطالعه ارتعاش است که مثال معروف آن حرکت فنر است. در شکل مقابل فنری به طول طبیعی L را بوسیله وزنه W به اندازه s واحد میکشیم.سپس فنر رابه اندازه a واحد دیگر میکشانیم وآنرا رها میکنیم تابه ارتعاش در آیدوضعیت وزنه در هر زمان پس از آن با یک معادله دیفرانسیل توصیف میشود.

البته مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می شوند به عنوان مثالی دیگر دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر حرکت پرتابه ای را (بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا) توصیف می کند:

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک

در واقع، یکی از منابع عمده معادلات دیفرانسیل در مکانیک قانون دوم نیوتن است که در آن Fبرایند نیروهای وارد بر جسمی به جرم mو سرعت V است:

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک

مثالی از رشته سینتیک شیمیایی واکنش دهنده ای چون Aاست که در تبدیلاتی موازی با سرعتهایی متناسب با مقدار A موجود در لحظه tبه دو فراورده BوC تبدیل می شود.اگرx، y ،z مقادیرA، B،C در لحظه t باشند،آنگاه معادلات دیفرانسیلی که این فرایند را توصیف میکنند عبارتند از:

کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک

جواب معادله

تابعی چون راجواب معادله دیفرانسیل نامند اگر چنانچه در معادله دیفرانسیل مزبور y را به جای (f(x قرار دهیم و به جای مشتقات مربوط به y ،مشتقات متناظر (f(x را قرار دهیم،معادله برقرار بماند. مثلا اگر و مقادیر ثابتی باشند،آنگاه

جوابی برای معادله دیفرانسیل زیر است:

مساله ای فیزیکی به صورت یک معادله دیفرانسیل در می آید، معمولا شامل شرایطی

اضافی هم هست که به وسیله خود معادله دیفرانسیل بیان نمی شوند. مثلاً، در مکانیک معمولا هم مکان و سرعت اولیه جسم متحرک و هم نیروها به طور جداگانه مشخص می شوند. معادله یا معادلات دیفرانسیل حرکت، معمولا جوابهایی دارند و ثابتهای دلخواهی را در برمیگیرند. از این رو به این ثابتهای دلخواه مقادیر خاصی نسبت می دهند تا شرایط اولیه توصیف شده برآورده شوند.

معادلات دیفرانسیل خطی و مدل‌سازی دینامیکی

پرویز تاجداری، مولف این کتاب در گفت‌وگو با خبرگزاری کتاب ایران ایبنا با بیان این مطلب اظهار داشت:‌ این کتاب برای دانشجویان رشته‌های ریاضی، فیزیک، مکانیک، برق و اقتصاد تالیف شده و دربردارنده مباحث مختلف معادلات دیفرانسیل خطی در مدل‌سازی است.

وی ادامه داد: کتاب حاضر، در راستای توسعه مدل‌سازی در علوم و فنون تالیف شده و مدل‌سازی به روش سنتی را با کاربرد معادلات دیفرانسیل بررسی می‌کند.

تاجداری با اشاره به موضوع کتاب گفت: این مبحث روش قدیمی و ریشه‌دار در علم مدل‌سازی

نوشته های مشابه

دیدگاهتان را بنویسید

دکمه بازگشت به بالا